Предупреждение:

данный текст - перевод русского варианта. При возникновении трудностей с пониманием Вы можете перевести его самостоятельно.

 

 

Мощность множеств функций: из множества натуральных чисел.

 

Хочу предупредить, что сейчас я немного поменяю стиль изложения — там где я обычно пишу «я», я буду писать «мы», считая, что читатель делает то же самое — так принято в той литературе, которую я использовал. Итак, начнем.

​

Предложение 1. Мощность множества функций из множества натуральных чисел в множество действительных чисел равна мощности множества действительных чисел. В статье "Множества мощности омега или Единственность бесконечности" я привел алгоритм, позволяющий разделить множество натуральных чисел на счетное множество счетных подмножеств. Применим этот алгоритм к записи действительного числа по какому-нибудь  натуральному основанию. Разделяя таким образом каждое действительное число и рассматривая результаты разделения как функции, отображающие счетное множество в множество действительных чисел - и приходим, таким образом, к нужному соответствию.

​Предложение 2. Множество супер макро чисел первого порядка равномощно множеству действительных чисел. Так как множество супер макро чисел первого порядка это - множество функций из счетного множества в счетное (которое - есть подмножество множества функций из счетного множества в множество действительных чисел, и которое содержит множество функций из счетного множества в множество чисел, которые меньше основания действительного числа), то по теореме Кантора-Бернштейна получаем искомое равенство.

Так же, из доказательства предыдущего пункта следует:

Предложение 3. Множество функций, отображающих счетное множество в счетное, равномощно множеству действительных чисел.

 

 

 

 

​С уважением, Карсанов Николай Владимирович

Страна: Россия

Город: Оренбург