Множества мощности омега или Единственность бесконечности.

Предупреждение:

данный текст - перевод русского варианта. При возникновении трудностей с пониманием Вы можете перевести его самостоятельно.

Хочу предупредить, что сейчас я немного поменяю стиль изложения — там где я обычно пишу «я», я буду писать «мы», считая, что читатель делает то же самое — так принято в той литературе, которую я использовал. Итак, начнем.

Здесь мы будем измерять мощность различных множеств непосредственно, то есть, сопоставляя элементы друг другу, а конкретно - сравнивать мощность различных множеств с мощностью множества натуральных чисел (в научной литературе эта мощность обычно обозначается буквой омега). Мощности множеств считаются равными, если удастся сопоставить каждому элементу одного множества единственный элемент другого множества. Докажем для примера следующее Предложение 1: Мощность объединения конечного множества и счетного множества (множества мощности омега) равна мощности омега. Для доказательства достаточно сопоставить каждому элементу конечного множества первые элементы множества натуральных чисел, а оставшиеся элементы множества натуральных чисел сопоставить элементам счетного множества.

Предложение 2: Мощность множества конечных подмножеств счетного множества равна мощности омега. Заметим сначала, что из счетного множества можно выделить счетное количество счетных подмножеств: сначала берем первый элемент, затем элемент, стоящий от первого через один элемент, затем - от второго через два, затем - от третьего через три и т. д. - это мы выделили первое подмножество. Следующие подмножества выделяются аналогично начиная с первого свободного элемента. С получившимися подмножествами мы и будем сопоставлять множество подмножеств. С первым подмножеством сопоставим множество подмножеств, содержащих один элемент,которое по условию счетно. Мощность множества подмножеств, содержащих два элемента равна мощности множества рациональных чисел (частное от деления одного натурального числа на другое), которое также счетно, и, поэтому, это множество подмножеств мы можем сопоставить второму подмножеству. Далее действуя индукцией по количеству элементов, представляя каждый элемент как пару из одного элемента и элемента, полученного на предыдущем шаге, убеждаемся что множества подмножеств содержащие большие количества элементов так же счетны, и, поэтому их мы можем сопоставить оставшимся подмножествам.

Рассмотрим, теперь, более сложный случай. Из математики известно, что для каждого множества мы можем ввести отношение порядка таким образом, что множество превратится в фундированное линейно-упорядоченное множество - то есть, для каждого подмножества мы можем выбрать минимальный элемент, а из любых двух элементов - один будет больше, другой - меньше. Пусть множество несчетно. Будем сравнивать его с множеством натуральных чисел. Как и в предложении 2 разобьем множество натуральных чисел на счетное множество счетных подмножеств. Из множества, мощность которого мы измеряем, выделим минимальный элемент. Из оставшегося множества так же выделим минимальный элемент и т. д. Так как по условию множество несчетно, то существуют элементы, которых мы никогда не достигнем в ходе такого процесса. Выделенные элементы сопоставим первому счетному подмножеству натуральных чисел, а из оставшихся выделим минимальный и назовем его первый главный элемент первого уровня. Действуя по предыдущему сценарию выделим подчиненные элементы первого уровня и второй главный элемент первого уровня и т. д. Так как измеряемое множество несчетно, то сущесвуют элементы, которых мы никогда не достигнем в ходе этого процесса. Выделенное счетное множество счетных подмножеств сопоставим второму подмножеству множества натуральных чисел. В оставшемся подмножестве измеряемого множества выделим минимальный элемент и назовем его первый главный элемент второго уровня... Действуя аналогично, мы сможем каждому уровню сопоставить счетное подмножество, а потому должны существовать уровни, которые мы никогда не достигнем. Выделенные уровни сопоставим третьему счетному подмножеству натуральных чисел, а в оставшихся элемнтах измеряемого множества выделим минимальный элемент. Назовем его первый главный элемент первого суперуровня. Вы наверно уже догадались, что следующему счетному подмножеству натуральных чисел мы сопоставим счетное количество суперуровней, потом - счетное количество уровней следующего порядка и т. д.? Таким образом мы нашли алгоритм, по которому каждый элемент измеряемого множества может быть сопоставлен единственному элементу множества натуральных чисел! Похоже, бесконечный кардинал только один - омега! А как же теорема Кантора о мощности множества подмножеств? - спросите Вы. Сам в шоке. Похоже, она верна только для конечных множеств...

С уважением, Карсанов Николай Владимирович

Страна: Россия

Город: Оренбург