Доказательство равномощности множества натуральных и множества действительных чисел.

Предупреждение:
данный текст - перевод русского варианта. При возникновении трудностей с пониманием Вы можете перевести его самостоятельно.

Доказательство равномощности множества натуральных и множества действительных чисел.

Хочу предупредить, что сейчас я немного поменяю стиль изложения — там где я обычно пишу «я», я буду писать «мы», считая, что читатель делает то же самое — так принято в той литературе, которую я использовал. Итак, начнем.

На основании двух моих предыдущих статьей может показаться, что следующие рассуждения (выделенные мелким шрифтом) заслуживают внимания:

Предложение 1. Множество мощности омега равномощно множеству мощности омега в степени омега (здесь омега - мощность множества натуральных чисел). В статье "Множества мощности омега или Единственность бесконечности." я привел алгоритм, при помощи которого из счетного множества можно выделить счетное семейство счетных множеств. Повторим этот алгоритм для каждого из получившихся множеств, потом для каждого из множеств результата и т. д. Полученное количество элементов и есть омега в степени омега - по построению.

Предложение 2. Два в степени омега лежит между омега и омега в степени омега. Доказательство 1: Для доказательства утверждения нам достаточно доказать, что существует множество мощности омега в степени омега, содержащее в себе множество мощности два в степени омега, которое, в свою очередь, содержит множество мощности омега. По определению множество мощности омега в степени омега получается в результате бесконечного индукционного процесса, при котором на каждом шаге каждый элемент заменяется на множество мощности омега. Рассмотрим эти множества. Возьмем первое из них. Очевидно, что из него можно выделить множество мощности два в степени, равной номеру шага, из которого, в свою очередь, можно выделить множество, мощности равной номеру шага (так как два в степени, равной номеру шага всегда больше номера шага). В результате бесконечного итерационного процесса и получаются искомые множества. В приведенном выше доказательстве лично мне не нравится то, что множество мощности два в степени омега выделяется из множества мощности омега - это может вызвать вопросы (если не читать первый пункт). Поэтому приведу еще одно доказательство. Доказательство 2: Для доказательства утверждения нам достаточно доказать, что существует множество мощности омега в степени омега, содержащее в себе множество мощности два в степени омега, которое, в свою очередь, содержит множество мощности омега. Рассмотрим множество действительных чисел в двоичной записи на отрезке от нуля до единицы. Как известно (см., например, мою статью "Попытка обхода теоремы о неравномощности множества и множества подмножеств."), оно равномощно множеству подмножеств натуральных чисел. Количество элементов в множестве подмножеств данного множества - два в степени, равной количеству элементов исходного множества (в нашем случае - омега). Второе вложение получается, если заметить, что множество чисел с нулем в периоде равномощно множеству натуральных чисел. Первое вложение получим, если в записи чисел цифры будем варьировать не от нуля до единицы, а от нуля до бесконечности. Очевидно, множество таких объектов включает в себя множество действительных чисел. Попробуем определить его мощность. Будем действовать индукцией по длине последовательности. Длина - единица: мощность - омега. Длина - два: мощность - омега в степени два и т. д. В бесконечности получим омега в степени омега - что и требовалось.

Предложение 3. Множество натуральных чисел равномощно множеству действительных чисел. Рассмотрим множество действительных чисел. Как указано выше - мощность действительных чисел равна два в степени омега. Так как два в степени омега лежит между омега и омега в степени омега, - которые есть мощности одного и того же множества, - то исходное утверждение верно.

Конечно, вопросы может вызвать, так же, предложение 1: кто знает - что там есть на бесконечности. Но на этот случай существует еще один вариант доказательства: предложение 3 - оставляем без изменения, а предложения 1 и 2 - меняем.

Предложение 1а. Множество мощности омега равномощно множеству, являющемуся объединением множеств, мощности которых являются конечными степенями омеги. Применим алгоритм один раз - получим счетное семейство счетных множеств. Первое множество оставим без изменения. Затем применим ко второму, а так же ко всем полученным результатам этого применения. Будем продолжать далее, каждый раз увеличивая глубину применения на единицу. В результате получим требуемое соответствие.

Предложение 2а. Два в степени омега лежит между омега и суммой различных конечных степеней омеги. Для доказательства утверждения нам достаточно доказать, что существует множество мощности равной сумме различных конечных степеней омеги, содержащее в себе множество мощности два в степени омега, которое, в свою очередь, содержит множество мощности омега. Рассмотрим множество действительных чисел в двоичной записи на отрезке от нуля до единицы. Как известно (см., например, мою статью "Попытка обхода теоремы о неравномощности множества и множества подмножеств."), оно равномощно множеству подмножеств натуральных чисел. Количество элементов в множестве подмножеств данного множества - два в степени, равной количеству элементов исходного множества (в нашем случае - омега). Второе вложение получается, если заметить, что множество чисел с нулем в периоде равномощно множеству натуральных чисел. Для построения первого вложения заметим, что 2=1+1. Применим формулу бинома Ньютона к выражению (1+1)^n - получим: 1+n!/(n-1)!+n!/(2!*(n-2)!)+...+1. Оценим это выражение сверху: n+n^2+...+n^n. В свою очередь - оценка полученного выражения: сумма степеней омега до n включительно. На бесконечности и получим требуемое вложение.

Но... Есть довольно известные утверждения, которые это опровергают. Далее я хочу представить еще одно.

Так как я буду рассматривать функции от функций, то для удобства изложения введу понятие "макро число". Определим макро числа по индукции. Главными макро числами m(n,k,0) длиной n порядка 0 по основанию k (n, k - натуральные числа, такие что: n>0, k>1) будем называть функции, отображающие множества натуральных чисел, меньших n, в множество натуральных чисел, меньших k, причем такие, значения которых в точке 0 не равны нулю, за исключением функций для n=1. Итак, мы получили обычные числа длины n с основанием k. В дальнейшем, с целью унификации обозначений, я буду опускать n. Т. е. m(k,0) будет обозначать то же, что и m(n,k,0). Значение n (при необходимости) можно будет выяснить из контекста. Главными макро числами m(k,p) порядка p по основанию k (k, p - натуральные числа, причем: k>1) назовем функции отображающие множество главных макро чисел предыдущего порядка m(k,p-1) в множество натуральных чисел, меньших k.

Супер макро числа, так же, определяются по индукции. Супер макро числами нулевого порядка будем называть функции из пустого множества в множество натуральных чисел. Супер макро числами s(p) порядка p назовем функции отображающие множество супер макро чисел предыдущего порядка s(p-1) в множество супер макро чисел предыдущего порядка s(p-1).

Можно построить и более общее определение.

Универсальными макро числами m(A,B) с порождающим множеством A и обобщенным основанием B будем называть функции, отображающие множество A в множество B. При этом, получившееся множество универсальных макро чисел будем называть порожденным. Очевидно, что универсальные макро числа включают в себя как главные макро числа, так и супер макро числа.

Любое непустое множество с мощностью не равной единице будем называть нетривиальным.

Пусть, теперь a - элемент множества A. Будем говорить, что универсальное макро число m1(A,B) отличается от универсального макро числа m2(A,B) в позиции a, если значения соответствующих функций для этого элемента отличаются.

Множество универсалных макро чисел с нетривиальным обобщенным основанием обладает следующим свойством: любое отображение с областью определения равной порождающему множеству и областью значений - порожденному - не будет взаимно-однозначным, потому что число, отличающееся в позициях, равных исходным элементам, от соответствующих элементов результата предполагаемого отображения будет принадлежать порожденному множеству, но не будет принадлежать области значений предполагаемого взаимно-однозначного отображения.

Так как множество натуральных чисел является порождающим для множества действительных чисел - то имеем противоречие, а, следовательно, все-таки, где-то в рассуждениях, написанных мелким шрифтом, есть ошибки.

С уважением, Карсанов Николай Владимирович
Страна: Россия
Город: Оренбург