Предупреждение:

данный текст - перевод русского варианта. При возникновении трудностей с пониманием Вы можете перевести его самостоятельно.

 

 

Мощность множеств функций: из множеств макрочисел.

 

Хочу предупредить, что сейчас я немного поменяю стиль изложения — там где я обычно пишу «я», я буду писать «мы», считая, что читатель делает то же самое — так принято в той литературе, которую я использовал. Итак, начнем.

​

Отметим сначало очевидное:

Предложение 1. Если множество A включает в себя множество B, то для произвольного множества E  множество функций F(E,A) из множества E в множество A включает в себя множество функций F(E,B) из множества E в множество B.

 

Пусть имеется множество равномощное множеству A, в котором каждый элемент - множество, равномощное множеству B, причем все элементы всех этих множеств различны: выражение "P(A,B)" будет обозначать объединеие этих множеств.

Предложение 2. Множество вида P(A,A) равномощно множеству функций F({0,1},A) из множества {0,1} в множество A. Множество функций F({0,1},A) - это множество пар вида {{{0},{0,a1}},{{1},{1,a2}}}, где a1 и a2 - элементы множества A. Поставим в соответствие каждому множеству, участвющему в P(A,A), множество пар, с неизменным элементом a1. Очевидно, что мощность множества таких множеств равна мощности множества эементов a1, т. е. A, а мощность каждого из этих множеств равна  мощности множества элементов a2, т. е. так же A. Таким образом, соответствие взаимно-однозначно.

 

Побочными макро числами m(A,k,p) порядка p по основанию k с порождающим множеством А (k, p - натуральные числа, причем: k>1) будем называть универсальные макро числа вида m(A,{b:b<k}) с порождающим множеством А и обобщенным основанием {b:b<k}, где A не равно, но равномощно порождающему множеству главных макро чисел m(k,p) порядка p по основанию k, а обобщенное основание {b:b<k} с обобщенным основанием макро чисел m(k,p) совпадает. Заметим, что для каждого A множество побочных макро чисел m(A,k,p) равномощно соответствующему множесву главных макро чисел m(k,p), так как равномощны соответствующие множества функций.

​

Предложение 3. Множество главных макро чисел {m(2,p)} порядка p по основанию 2 равномощно множеству вида P({m(2,p)},{m(2,p)}). Будем доказывать индукцией по порядку p. Рассмотрим порождающее множество A (являющееся множеством вида {m(2,p-1)}) для  множества {m(2,p)}. Так как отображение множества A в множество вида P(A,A) по предположению индукции взаимнооднозначно, то множество A является объединением равномощного множеству A множества подмножеств, каждое из которых, в свою очередь, равномощно множеству A. Соответствующие функции, которыми являются макро числа m(2,p) составлены из функций, определенных на этих подмножествах, а следовательно для каждой кобинации функций от элементов этих подмножеств существует ровно одно макро число из множества {m(2,p)}. Так как эти функции являются побочными макро числами вида m(A,2,p), множества  которых для каждого A равномощны {m(2,p)}, а указанные выше комбинации являются функциями, определенными на множестве подножеств, которое равномощно множеству A, то мы получили равномощность множества {m(2,p)} множеству функций F({m(2,p-1)},{m(2,p)}) из {m(2,p-1)} в {m(2,p)}. Далее, замечая, что это множество содержит множество функций в которых все значения, кроме двух одинаковы, которое равномощно множеству функций F({0,1},{m(2,p)}) из {0,1} в {m(2,p)}, и то, что это множество, в свою очередь, равномощно (по Предложению 2) множеству вида P({m(2,p)},{m(2,p)}), по определению содержащему множество, равномощное {m(2,p)}, из теоремы Кантора-Бернштейна получаем нужное для индукции соответствие. Соответствие для {m(2,0)} получаем из алгоритма, указанного в статье "Множества мощности омега или Единственность бесконечности".

 

Из доказательства предыдущего пункта следует:

​Предложение 4. Множество функций из множества главных макро чисел {m(2,p-1)} порядка p-1 по основанию 2 в множество главных макро чисел {m(2,p)}  порядка p по основанию 2 равномощно множеству {m(2,p)}. 

 

Предложение 5. Множество главных макро чисел {m(k,p)} порядка p по основанию k содержит множество, равномощное множеству главных макро чисел {m(k,p-1)}  порядка p-1 по основанию k. Рассмотрим множество функций, соответствующих макро числам m(k,p), для которых одно из значений равно 1, а остальные - 0. Очевидно, что мощность множества таких функций равна мощности области определения, т.е. мощности множества {m(k,p-1)}.

 

Из Предложений 1, 4 и 5 по теореме Кантора-Бернштейна:

Предложение 6. Множество функций из  множества главных макро чисел {m(2,p-1)} порядка p-1 по основанию 2 в множество {m(2,p-1)} равномощно множеству главных макро чисел {m(2,p)} порядка p по основанию 2.

 

Кроме того, из тех же предложений, индукцией по порядку p получаем:

Предложение 7. Множество главных макро чисел {m(2,p)} порядка p по основанию 2 равномощно множеству главных макро чисел порядка p по любому основанию.

 

Так как множество функций из  множества главных макро чисел {m(2,0)} порядка 0 по основанию 2 в множество главных макро чисел {m(2,0)} равномощно множеству супер макро чисел {s(1)} порядка 1, индукцией по порядку p из Предложения 6 получаем:

Предложение 8. Множество супер макро чисел {s(p)} порядка p равномощно множеству главных макро чисел {m(2,p)} порядка p по основанию 2.

 

 

 

 

 

​С уважением, Карсанов Николай Владимирович

Страна: Россия

Город: Оренбург