Предупреждение:

данный текст - перевод русского варианта. При возникновении трудностей с пониманием Вы можете перевести его самостоятельно.

 

 

Попытка обхода теоремы о неравномощности множества и множества подмножеств.

 

Хочу предупредить, что сейчас я немного поменяю стиль изложения — там где я обычно пишу «я», я буду писать «мы», считая, что читатель делает то же самое — так принято в той литературе, которую я использовал. Итак, начнем.

​

Сначала несколько предложений.

​

Предложение 1. Множество подмножеств множества натуральных чисел равномощно множеству действительных чисел на отрезке от нуля до единицы. Каждому подмножеству поставим в соответствие бесконечную последовательность цифр "ноль" и "один", заменяя каждое число в натуральном ряду единицей, в случае, если оно есть в подмножестве, и нулем - если его там нет. Получившимся последовательностям поставим в соответствие числа рассматриваемого отрезка в двоичной записи с такой же дробной частью. Соответствие, полученное таким образом будет неточным: для каждого действительного числа, двоичная запись которого имеет ноль в периоде, имеется еще одна двоичная запись - с единицей в периоде (исключения - для нашего случая - составляют ноль и единица). Но лишние элементы можно легко убрать. Воспользуемся тем фактом, что мощность множества не изменится, если мы одно из его подмножеств заменим на другое множество - равной мощности. Как следует из второго предложения моей предыдущей статьи ("Множества мощности омега или Единственность бесконечности"), множество, которое соответствует двоичной записи с нулем в периоде - это множество конечных подмножеств множества натуральных чисел, - счетно. Выделим какое-нибудь счетное множество его содержащее (например объединение этого множества и множества которое соответствует действительным образам элементов этого множества, деленным на три - без чисел с нулем в периоде) и заменим на множество, его не содержащее (например на множество, которое соответствует только действительным образам элементов этого множества, деленным на три - без чисел с нулем в периоде) -  получим полное соответствие.

​

Предложение 2. Множество подмножеств множества натуральных чисел равномощно множеству действительных чисел. Нам осталось из получившегося отрезка убрать ноль и единицу - получим интервал - который, как известно, равномощен всему множеству действительных чисел.

​

Числа полученного отрезка можно пронумеровать, используя генератор случайных чисел. То, что такую функцию еще никто не построил, не означает, что ее нет вообще - многие функции в математике не выражаются через конечное число операций.

 

Но ведь есть же еще теорема о неравномощности множества множеству подмножеств (теорема Кантора)... Теорема звучит так: любое множество неравномощно множеству своих подмножеств. Для доказательства сначала строится функция, ставящая в соответствие элемент множества элементу множества подмножеств. Затем, рассматривается множество таких элементов множества подмножеств, для которых элемент исходного множества не принадлежит своему образу. При попытке ответа на вопрос, чему соответствует множество ВСЕХ исходных элементов МНОЖЕСТВ С ТАКИМ СВОЙСТВОМ, возникает противоречие. На основании этого делается вывод об искомой неравномощности. Но в этом доказательстве есть один изъян: если исходное множество бесконечно, и множество, для которого возникает противоречие одно - отвечать на этот вопрос не нужно (мы можем рассмотреть функцию, из области значений которой этот элемент исключен - и тогда противоречия не возникнет). Более того, в случае бесконечности исходного множества, мы можем проигнорировать существование счетного семейства таких множеств! Т. е. доказательство не полно. Для доказательства неравномощности надо, кроме всего  прочего, доказать, что, в случае бесконечности исходного множества, семейство множеств, для которых возникает противоречие несчетно.

​

Ну, и наконец, - общее соображение: при добавлении элемента в бесконечное множество, мощность множества не увеличивается - не означает ли это, что мощность не увеличится, если добавляемый элемент не один? Вроде бы разумные рассуждения. Но...

​

Построим аналог теоремы Кантора для действительных чисел отрезка от нуля до единицы. Возьмем функцию, ставящую в соответствие натуральному числу действительное. В двоичном исчислении элемент для которого возникает противоречие построим следующим образом: если на первом месте дробной части первого действительного числа стоит единица - ставим на первое место дробной части нашего числа ноль, если стоит ноль - ставим единицу. То же самое проделываем для второй цифры второго действительного числа, потом для третьей цифры третьего и т. д. Полученное число будет отличаться от любого значения функции в соответствующей позиции. И такое число не одно. В системе исчисления отличной от двоичной в соответствующую позицию мы сможем поставить больше значений. Например, в троичной системе мы сможем поставить одно из двух значений - а это уже эквивалентно записи действительного числа в двоичной системе исчисления (в двоичной системе мы можем сгруппировать цифры по 2, 3 и т. д. - получим аналогичный эффект). Т. е. множество "пропущенных" значений равномощно множеству действительных чисел.

​

​

 

​

 

 

​С уважением, Карсанов Николай Владимирович

Страна: Россия

Город: Оренбург